তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০৬: বুলিয়ান অ্যালজেবরা ও বুলিয়ান উপপাদ্য।

বুলিয়ান অ্যালজেবরা

⇒ ব্রিটিশ গণিতবিধ ও দার্শনিক জর্জ বুল ১৮৪৭ সালে তার প্রকাশিত প্রথম গ্রন্থ “The Mathematical Analysis of Logic” এ সর্বপ্রথম বুলিয়ান অ্যালজেবরা নিয়ে আলোচনা করেন। এরপর তিনি ১৮৫৪ সালে “The Investigation of the Laws of Thought” গ্রন্থে বুলিয়ান অ্যালজেবরা সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।

⇒ বুলিয়ান অ্যালজেবরা সাধারণত সত্য ও মিথ্যার (ON/OFF) উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে । বাইনারি সংখ্যা আবিষ্কারে পর থেকে  এ সত্য মিথ্যাকে 1 ও 0 নিয়ে কাজ করা হয়। এক্ষেত্রে কোন সার্কিটে বিদ্যুতের উপস্থিতিকে 1 এবং সার্কিটে বিদ্যুতের অনুপস্থিতিকে 0 ধরা হয়।

⇒ সত্য ও মিথ্যার উপর ভিত্তি করে বিজ্ঞানী জর্জ বুল ১৮৫৪ সালে গণিতের যে নতুন শাখা উন্মোচন করেছেন তাকে বুলিয়ান অ্যালজেবরা বলে।

⇒ ডিজিটাল সিস্টেমে 0 থেকে 0.8 ভোল্টকে লজিক 0 এবং 2 থেকে 5 ভোল্ডকে লজিক 1 ধরা হয়।

 

বুলিয়ান অ্যালজেবরার মৌলিক ক্রিয়া :

বুলিয়ান অ্যালজেবরার মৌলিক ক্রিয়া বা কাজ ৩ টি। যথা-
১. যোগের কাজ (OR operation)
২. গুনের কাজ (AND operation)
৩. পূরতের কাজ (NOT operation)

 

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ :
বুলিয়ান অ্যালজেবরার যোগ ও গুনের ক্ষেত্রে যে নিয়মগুলি মেনে চলা হয় তাকে বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বলে।

 

বুলিয়ান অ্যালজেবরার যোগের নিয়ম :

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=1

বুলিয়ান অ্যালজেবরার গুনের নিয়ম :

• 0 . 0=0
• 0 . 1=1
• 1 . 0=1
• 1 . 1=1

বুলিয়ান অ্যালজেবরার পূরকের নিয়ম :

• 1=0
• 0=1

 

বুলিয়ান অ্যালজেবরার বৈশিষ্ট্য :

• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় শুধু 1 ও 0 দুটি অংক ব্যবহৃত হয়।
• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যোগ ও গুনের মাধ্যমে সকল গাণিতিক কাজ করা যায়।
• বুলিয়ান অ্যালজেবরায় জ্যামিতিক ও ত্রিকোনমিতিক সূত্র ব্যবহৃত হয় না।
• এ অ্যালজেবরায় কোন ভগ্নাংশ, বর্গ(সূচক), ঋণাত্নক সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা ইত্যাদি ব্যবহৃত হয় না।
• মাত্র দটি অংক থাকায় দশমিক অ্যালজেবরার তুলনায় এ পদ্ধতি অনেক সহজ।

 

বুলিয়ান ধ্রুবক : বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যে রাশির মান স্থির বা অপরিবর্তনশীল তাকে বুলিয়ান ধ্রুবক বলে।
যেমন- F = A+ 1 + 0  হলে এখানে, 1 এবং 0 হচ্ছে বুলিয়ান  ধ্রুবক ।

 

বুলিয়ান চলক : বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যে রাশির মান পরিবর্তনশীল তাকে বুলিয়ান চলক বলে।
যেমন- F = A+ B হলে এখানে, A এবং B হচ্ছে বুলিয়ান  চলক ।

 

বুলিয়ান পূরক : বুলিয়ান অ্যালজেবরায় চলকের দুটি সম্ভাব্য মান 0 এবং 1, এদের একটিকে অপরটির পূরক  বলে।
যেমন- গণিতের ভাষায় লেখা হয় A এর পূরক  A   ( A কে “ A NOT/NOT A/A Bar পড়া হয় )

 

দ্বৈত নীতি : বুলিয়ান অ্যালজেবরায় AND এবং OR অপারেশনের সাথে সম্পর্কযুক্ত সূত্রকে দ্বৈত নীতি বলে। অর্থাৎ বুলিয়ান অ্যালজেবরায় যে দুটি নিয়ম মেনে একটি বৈধ সমীকরণ থেকে অপর একটি বৈধ সমীকরণ নির্ণয় করা হয় তাই দ্বৈত নীতি।

• নিয়ম-০১: AND এবং OR অপারেটরকে পরস্পর বিনিময় করে। যেমন- 1+1=1  এবং 1 . 1=1 দুটি বৈধ সমীকরণ।
• নিয়ম-০২: 0 এবং 1 পরস্পর বিনিময় করে। যেমন- 0+1=1  এবং 1+0=1 দুটি বৈধ সমীকরণ।

 

শিক্ষার্থীর বাড়ির কাজ : সাধারণ অ্যালজেবরা ও বুলিয়ান অ্যালজেবরার পার্থক্য লেখ।

 

বুলিয়ান অ্যালজেবরার উপপাদ্য/সূত্রসমূহ:

নিম্নোক্ত ১৫ টি সূত্র (মৌলিক উপপাদ্যসহ)  জানা থাকলে যে কোন সরলীকরন সম্ভব-

1. A+0=A
2. A+1=1
3. A+A=A
4. A+A=1
5. A . 0=0
6. A . 1=A
7. A . A=A
8. A . A=0
9. X̿=X  (Double Complement/Inverse Law)
10. A+AB=A+B  (Simplication Law)
11. A+BC=(A+B).(A+C) (Distributed Theorem)
12. A+B=A . B
13. A . B=A + B
14. A⊕B=AB+AB
15. A⊕B=A.B+AB

Note : 1 থেকে 8 পর্যন্ত মৌলিক উপপাদ্য, (12,13) ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য এবং 14, 15 বিশেষ যোগের সূত্র।

 

উপপাদ্যসমূহের প্রমাণ :

উপরোক্ত উপপাদ্যগুলি চলকের মান ( 0 বা 1) এবং সত্যক সারণীর সাহায্যে প্রমাণ করা যায়। সত্যক সারণীর সাহায্যে প্রমাণ পরবর্তীতে শিখবো । এখন চলকের মান 0 ও 1 ধরে কিছু প্রমাণ দেখানো হলো-

উদাহরণ-০১ : প্রমাণ কর যে, A+A=A

সমাধান : A=0 হলে,
বামপক্ষ=A+A=0+0=0
এবং ডানপক্ষ=A=0

আবার, A=1 হলে,
বামপক্ষ=A+A=1+1=1
এবং ডানপক্ষ=A=1
∴ বুলিয়ান চলক A এর যে কোন মানের জন্য A+A=A (প্রমাণিত)

উদাহরণ-০২ : প্রমাণ কর যে,  A+A=1

সমাধান : A=0 হলে,
বামপক্ষ=A+A=0+0=0+1=1
এবং ডানপক্ষ=1

আবার, A=1 হলে,
বামপক্ষ=A+A=1+1=1+0=1
এবং ডানপক্ষ=1
∴ বুলিয়ান চলক A এর যে কোন মানের জন্য A+A=1 (প্রমাণিত)

 

শিক্ষার্থীর বাড়ির কাজ : 1 থেকে 13 পর্যন্ত উপপাদ্যগুলি প্রমাণ কর।

 

 

তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০২: সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System)

---

Written by:

Habibur Rahman(Habib Sir)
Author at www.habibictcare.com
Email:habibbzm2018@gmail.com
Cell: +8801712-128532,+8801913865284