সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System)
এক সংখ্যা পদ্ধতি থেকে অন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে পরিবর্তন করাকে সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর বলে। আমরা
দশমিক,বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা পদ্ধতির মধ্যে খুব সহজেই পারস্পারিক পরিবর্তন করতে পারি। এবং এই পরিবর্তনগুলো আমরা নিম্নোক্ত ৪টি প্রধান নিয়মে শিখতে পারি-
নিয়ম-০১: দশমিক সংখ্যা থেকে বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যায় রুপান্তর।
অর্থাৎ দশমিক সংখ্যা থেকে অন্য যে কোন সংখ্যায় রুপান্তর।
***যে কোন সংখ্যার ১ বা ২ টি অংশ থাকতে পারে। যথা-পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ। নিচে পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে নিয়মসহ রুপান্তর দেখানো হলো-
পূর্ণাংশের ক্ষেত্রে-
ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক পূর্ণ সংখ্যাটিকে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।
ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভাগফলকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।
ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে ভাগ করতে থাকি যতক্ষণ না ভাগফলের ঘরে শূন্য হয়।
ধাপ-০৪: সংরক্ষিত ভাগশেষ গুলিকে নিচ থেকে উপরের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি।
উদাহরণ-১: (23)10 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (23)10 । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির বেস 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে।
সংখ্যাটি(23) ভাগফল ভাগশেষ 23÷2 11 1 11÷2 5 1 5÷2 2 1 2÷2 1 0 1÷2 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (23)10=(10111)2 (Ans.)
উদাহরণ-২: (469)10 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (469)10 । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে।
সংখ্যাটি(469) ভাগফল ভাগশেষ 469÷8 58 5 58÷8 7 2 7÷8 0 7 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (469)10=(725)8 (Ans.)
উদাহরণ-৩: (436)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (436)10 । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 16 দ্বারা ভাগ করতে হবে।
সংখ্যাটি(436) ভাগফল ভাগশেষ 436÷16 27 4 27÷16 1 11(B) 1÷16 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (436)10=(1B4)16 (Ans.)
উদাহরণ-৪: (58)10 কে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (58)10 । সংখ্যাটিকে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে ভিত্তি 6 দ্বারা ভাগ করতে হবে।(এক কথায় যা বানাবো তার ভিত্তি দিয়ে ভাগ করতে হবে)
সংখ্যাটি(58) ভাগফল ভাগশেষ 58÷6 9 4 9÷6 1 3 1÷6 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (58)10=(134)6 (Ans.)
বাড়ির কাজ: (209)10 সংখ্যাটিকে বাইনারি, অক্টাল, হেক্সাডেসিমাল ও 5 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে-
ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যাটিকে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি।
ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভগ্নাংশকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস দিয়ে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি।
ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে গুন করতে থাকি যতক্ষণ না ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য হয়।
ধাপ-০৪: সংরক্ষিত পূর্ণাংশ গুলিকে উপর থেকে নিচের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি।(এক্ষেত্রে সাজিয়ে লেখার সময় প্রথমে পয়েন্ট দিয়ে নিতে হবে এবং ৩/৪ বার গুন করার পরেও যদি ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য না হয় সেক্ষেত্রে গুন করা বন্ধ করে দিয়ে উত্তর লিখলেই হবে)
উদাহরণ-৫: ( .625)10 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .625)10 । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যার ভিত্তি 2 দ্বারা সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে।
সংখ্যাটি(.625) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .625×2=1.25 1 .25 .25×2=0.5 0 .5 .5×2=1 বা 1.0 1 0 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, ( .625)10=( .101)2 (Ans.)
উদাহরণ-৬: ( .247)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .247)10 । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার ভিত্তি 16 দ্বারা ( .247)10 সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে।
সংখ্যাটি( .247) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .247×16=3.952 3 .952 .925×16=15.232 15(F) .232 .232×16=3.712 3 .712 .712×16=11.392 11(B) .392 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (.247)10=( .3F3B…………….)16 (Ans.) বি.দ্র.: এখানে যেহেতু ৪বার গুন করার পরেও ভগ্নাংশ শূন্য হয়নি তাই উত্তর অংশের শেষে (…..) ব্যবহার করা হয়েছে।
বাড়ির কাজ: ( .247)10 সংখ্যাটিকে অক্টাল ও 5 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ একই সংখ্যায় থাকলে-
প্রথমত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ আলাদা করে নিতে হবে।
দ্বিতীয়ত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশের নিয়ম অনুসারে রুপান্তর করতে হবে এবং উত্তর লেখার সময় একসাথে লিখতে হবে। যেমন-
উদাহরণ-৭: (257.32)10 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটির দুটি অংশ রয়েছে একটি র্পূণাংশ=(257)10 এবং ভগ্নাংশ= (.32)10 । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে পূর্ণাংশকে অক্টালের ভিত্তি 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এবং ভগ্নাংশকে 8 দ্বারা গুন করতে হবে-
র্পূণাংশ=(257)10 ভগ্নাংশ= (.32)10
সংখ্যাটি( 257) ভাগফল ভাগশেষ 257÷8 32 1 32÷8 4 0 4÷8 0 4
সংখ্যাটি( .32) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .32×8=2.56 2 .56 .56×8=4.48 4 .48 .48×8=3.84 3 .84 .84×8=6.72 6 .72 এখানে, (257)10=(401)8 এবং (.32)10=( .2436………)8 অতএব, (257.32)10=( 401.2436……… )8 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১. (423.85)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
২. (311 .32)10 সংখ্যাটিকে বাইনারি ও ৬ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
নিয়ম-০২: বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর।
অর্থাৎ যে কোন সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর। ( গুন প্রক্রিয়া )
ধাপ-০১: প্রদত্ত সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক বা ডিজিটকে সংখ্যাটির বেস বা ভিত্তি দিয়ে গুন করি এবং প্রতিটি গুনফলের মাঝে যোগ চিহ্ন দিই।(পয়েন্ট থাকলে না বসাই)
ধাপ-০২: প্রতিটি ডিজিটের পজিশন সংখ্যাকে পাওয়ার হিসেবে বসাই।[পূর্ন সংখ্যার ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় ০ থেকে (ডান থেকে বাম দিকে) এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় -১ থেকে (বাম থেকে ডান দিকে)]
ধাপ-০৩: গাণিতিক হিসাবের মাধ্যমে প্রাপ্ত যোগফলই হবে নির্নেয় দশমিক সংখ্যা।
উদাহরণ-৮: (1011010)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(1011010)2
=(1×26)+(0×25)+(1×24)+(1×23)+(0×22)+(1×21)+(0×20) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=64+0+16+8+0+2+0 [গাণিতিক হিসাব ]
=90
সুতরাং, (1011010)2=(90)10 (Ans.)উদাহরণ-৯: (7BC)16 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(7BC)16
=(7×162)+(B×161)+(C×160) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(7×256)+(11×16)+(12×1) [গাণিতিক হিসাব ]
=1792+616+12
=2420
সুতরাং, (7BC)16=(2420)10 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১. (207)8 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
২. (432)5 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
উদাহরণ-১০: (101110.101)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(101110.101)2
=(1×25)+(0×24)+(1×23)+(1×22)+(1×21)+(0×20)+(1×2-1)+(0×2-2)+(1×2-3) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(1×32)+(0×16)+(1×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1)+(1×0.5)+(0×0.25)+(1×0.125)
=32+0+8+4+2+0+0.5+0+0.125
=46.625
সুতরাং, (101110.101)2=(46)10 (Ans.)উদাহরণ-১১: (123.540)8 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(123.540)8
=(1×82)+(2×81)+(3×80)+(5×8-1)+(4×8-2)+(0×8-3) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(1×64)+(2×8)+(3×1)+(5×0.125)+(4×0.015625)+0
=64+16+3+0.625+0.0625+0
=83.6875
সুতরাং, (123.540)8=(83.6875)10 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১. (B5D.48)16 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
২. (11011.101)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
3. (203.32)4 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
নিয়ম-০৩: নন-ডেসিমাল অর্থাৎ বাইনারি,অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন
- বাইনারি → থেকে → অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর।
- অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল → থেকে → বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর।
- অক্টাল → থেকে → হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর।
- হেক্সাডেসিমাল → থেকে → অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর।
(নিয়ম-০৩ হলো বিট পদ্ধতি,এখানে যে সংখ্যাটি দেওয়া থাকবে এবং যে সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে দুটির একটিতেও দশমিক সংখ্যা থাকবে না। বিট পদ্ধতি ২ ধরনের। যথা-
ক.অক্টাল তিন বিটের, যার বিট তিনটির ফর্মুলা হলো →(4 2 1)
খ.হেক্সাডেসিমাল চার বিটের, যার বিট চারটি ফর্মুলা হলো →(8 4 2 1)
| অক্টাল সংখ্যা | বাইনারি বিট(4 2 1) | হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা | বাইনারি বিট(8 4 2 1) |
| 0 | 000 | 0 | 0000 |
| 1 | 001 | 1 | 0001 |
| 2 | 010 | 2 | 0010 |
| 3 | 011 | 3 | 0011 |
| 4 | 100 | 4 | 0100 |
| 5 | 101 | 5 | 0101 |
| 6 | 110 | 6 | 0110 |
| 7 | 111 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | ||
| 9 | 1001 | ||
| A | 1010 | ||
| B | 1011 | ||
| C | 1100 | ||
| D | 1101 | ||
| E | 1110 | ||
| F | 1111 |
বাইনারি থেকে অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল-
ধাপ-১: পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাটির ডান থেকে বাম দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করে নিতে হবে এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে বাম থেকে ডান দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করতে হবে । (এক্ষেত্রে গ্রুপ করতে বামে বিট কম পড়লে বামে এবং ডানে বিট কম পড়লে ডানে শূন্য বসিয়ে বিট পূরন করে নিতে হবে)
ধাপ-২: অতপর প্রতিটি ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) গ্রুপের আলাদা ভাবে অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান লিখতে হবে।
ধাপ-৩: অবশেষে প্রাপ্ত অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে বাইনারি সংখ্যাটির সমতূল্য অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পাওয়া যাবে।
উদাহরণ-১২: (111011101.1010111)2 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (11101110.1010111)
তিন বিট গ্রুপ → 011 101 110 . 101 011 100
অক্টাল মান → 3 5 6 . 5 3 4সুতরাং, (111011101.1010111)2=(356.534)8 (Ans.)
উদাহরণ-১৩: (11011101.1010111)2 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (1101110.1010111)
চার বিট গ্রুপ → 0110 1110 .1010 1110
হেক্সাডেসিমাল মান → 6 E . A Eসুতরাং, (11011101.1010111)2=(6E.AE)16 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১.(1101111101.10101111)2 কে হেক্সাডেসিমাল ও অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারিতে প্রকাশ
ধাপ-০১: অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার প্রতিটি ডিজিটের তিন/চার বিট বাইনারি মান লিখতে হবে।(বিট ফর্মুলা ব্যবহার করে)
ধাপ-০১: প্রাপ্ত বাইনারি মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারি সংখ্যা পাওয়া যাবে।
উদাহরণ-১৫: (356.57)8 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (356.57)8
তিন বিট বাইনারি মান → 110 101 110 .101 111সুতরাং, (356.57)8=(110101110.101111)2 (Ans.)
উদাহরণ-১৬: (B6A.C7)16 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (B6A.C7)16
চার বিট বাইনারি মান → 1011 1100 1010 .1100 0111সুতরাং, (B6A.C7)16=(101111001010.11000111)2 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১.(BFC)16কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
১.(74.6)8কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
অক্টাল থেকে হেক্সাডেসিমাল
ধাপ-১: প্রথমে অক্টাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে
ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে
উদাহরণ-১৬: (356.57)8 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (356.57)8
তিন বিট বাইনারি মান → 110 101 110 .101 111
চার বিট গ্রুপ → 0001 1010 1110 .1011 1100
হেক্সাডেসিমাল মান → 1 A E . B Cসুতরাং, (356.57)8=(1AE.BC)2 (Ans.)
হেক্সাডেসিমাল থেকে অক্টাল
ধাপ-১: প্রথমে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে
ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে অক্টাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে
উদাহরণ-১৭: (5C4.A7)16 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি → (5C4.A7)16
চার বিট বাইনারি মান → 0101 1100 0100 .1010 0111
তিন বিট গ্রুপ → 010 111 000 100 .101 001 110
অক্টাল মান → 2 7 0 4 . 5 1 6সুতরাং, (5C4.A7)16=(2704.516)8 (Ans.)
বাড়ির কাজ:
১.(A9D.B4)16কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
১.(764.36)8কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
নিয়ম-০৪: দুটি অপরিচিত বেস বিশিষ্ট সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন (2,8,10,16 বেস ব্যাতিত/2,8,10 বেস ব্যাতিত/2,10,16 বেস ব্যাতিত সংখ্যা থাকলে)
ধাপ-০১: প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে।(নিয়ম-০২ ব্যবহার করে অর্থাৎ গুন পদ্ধতি)
ধাপ-০২: প্রাপ্ত দশমিক সংখ্যাটিকে কাঙ্খিত সংখ্যায় রুপান্তর।(নিয়ম-০১ ব্যবহার করে অর্থাৎ ভাগ পদ্ধতি)
উদাহরণ-১৮: (452)6 কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রথমত প্রদত্ত সংখ্যাটি (452)6 কে দশমিকে রুপান্তর করতে হবে-
(452)6
=(4×62)+(5×61)+(2×60) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(4×36)+(5×6)+(2×1) [গাণিতিক হিসাব ]
=144+30+2
=175
সুতরাং, (452)6=(175)10দ্বিতীয়ত প্রাপ্ত সংখ্যাটি (175)10 কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে-
সংখ্যাটি(175) ভাগফল ভাগশেষ 175÷4 43 3 43÷4 10 3 10÷4 2 2 2÷4 0 2 সুতরাং, (175)10=(2233)4
অতএব, (452)6=(2233)4 (Ans.)
বি.দ্র.: নিয়ম-০৪ এর মতো নিয়ম-০৩ এর রুপান্তর গুলিও করা সম্ভব।
বাড়ির কাজ:
১.(432)5 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
২.(A62)16 কে ৬ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
৩.২.(223)5 কে ৩ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০১:সংখ্যা পদ্ধতি ও এর প্রকারভেদ।
Written by:
Author at www.habibictcare.com
Email:habibbzm2018@gmail.com
Cell: +8801712-128532,+8801913865284
