Tag: সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর

সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System) এক সংখ্যা পদ্ধতি থেকে অন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে পরিবর্তন করাকে সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর বলে। আমরা দশমিক,বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা পদ্ধতির মধ্যে খুব সহজেই পারস্পারিক পরিবর্তন করতে পারি। এবং এই পরিবর্তনগুলো আমরা নিম্নোক্ত ৪টি প্রধান নিয়মে শিখতে পারি- নিয়ম-০১: দশমিক সংখ্যা থেকে বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যায় রুপান্তর। অর্থাৎ দশমিক সংখ্যা থেকে অন্য যে কোন সংখ্যায় রুপান্তর। ***যে কোন সংখ্যার ১ বা ২ টি অংশ থাকতে পারে। যথা-পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ। নিচে পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে নিয়মসহ রুপান্তর দেখানো হলো- পূর্ণাংশের ক্ষেত্রে- ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক পূর্ণ সংখ্যাটিকে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি। ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভাগফলকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি। ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে ভাগ করতে থাকি যতক্ষণ না ভাগফলের ঘরে শূন্য হয়। ধাপ-০৪: সংরক্ষিত ভাগশেষ গুলিকে নিচ থেকে উপরের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি। উদাহরণ-১: (23)10 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (23)10 । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির বেস 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে। সংখ্যাটি(23) ভাগফল ভাগশেষ 23÷2 11 1 11÷2 5 1 5÷2 2 1 2÷2 1 0 1÷2 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (23)10=(10111)2 (Ans.) উদাহরণ-২: (469)10 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (469)10 । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে। সংখ্যাটি(469) ভাগফল ভাগশেষ 469÷8 58 5 58÷8 7 2 7÷8 0 7 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (469)10=(725)8 (Ans.) উদাহরণ-৩: (436)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (436)10 । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 16 দ্বারা ভাগ করতে হবে। সংখ্যাটি(436) ভাগফল ভাগশেষ 436÷16 27 4 27÷16 1 11(B) 1÷16 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (436)10=(1B4)16 (Ans.) উদাহরণ-৪: (58)10 কে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (58)10 । সংখ্যাটিকে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে ভিত্তি 6 দ্বারা ভাগ করতে হবে।(এক কথায় যা বানাবো তার ভিত্তি দিয়ে ভাগ করতে হবে) সংখ্যাটি(58) ভাগফল ভাগশেষ 58÷6 9 4 9÷6 1 3 1÷6 0 1 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (58)10=(134)6 (Ans.) বাড়ির কাজ: (209)10 সংখ্যাটিকে বাইনারি, অক্টাল, হেক্সাডেসিমাল ও 5 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে- ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যাটিকে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি। ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভগ্নাংশকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস দিয়ে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি। ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে গুন করতে থাকি যতক্ষণ না ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য হয়। ধাপ-০৪: সংরক্ষিত পূর্ণাংশ গুলিকে উপর থেকে নিচের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি।(এক্ষেত্রে সাজিয়ে লেখার সময় প্রথমে পয়েন্ট দিয়ে নিতে হবে এবং ৩/৪ বার গুন করার পরেও যদি ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য না হয় সেক্ষেত্রে গুন করা বন্ধ করে দিয়ে উত্তর লিখলেই হবে) উদাহরণ-৫: ( .625)10 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .625)10 । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যার ভিত্তি 2 দ্বারা সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে। সংখ্যাটি(.625) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .625×2=1.25 1 .25 .25×2=0.5 0 .5 .5×2=1 বা 1.0 1 0 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, ( .625)10=( .101)2 (Ans.) উদাহরণ-৬: ( .247)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .247)10 । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার ভিত্তি 16 দ্বারা ( .247)10 সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে। সংখ্যাটি( .247) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .247×16=3.952 3 .952 .925×16=15.232 15(F) .232 .232×16=3.712 3 .712 .712×16=11.392 11(B) .392 এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (.247)10=( .3F3B................)16 (Ans.) বি.দ্র.: এখানে যেহেতু ৪বার গুন করার পরেও ভগ্নাংশ শূন্য হয়নি তাই উত্তর অংশের শেষে (.....) ব্যবহার করা হয়েছে। বাড়ির কাজ: ( .247)10 সংখ্যাটিকে অক্টাল ও 5 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ একই সংখ্যায় থাকলে- প্রথমত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ আলাদা করে নিতে হবে। দ্বিতীয়ত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশের নিয়ম অনুসারে রুপান্তর করতে হবে এবং উত্তর লেখার সময় একসাথে লিখতে হবে। যেমন- উদাহরণ-৭: (257.32)10 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটির দুটি অংশ রয়েছে একটি র্পূণাংশ=(257)10 এবং ভগ্নাংশ= (.32)10 । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে পূর্ণাংশকে অক্টালের ভিত্তি 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এবং ভগ্নাংশকে 8 দ্বারা গুন করতে হবে- র্পূণাংশ=(257)10 ভগ্নাংশ= (.32)10 সংখ্যাটি( 257) ভাগফল ভাগশেষ 257÷8 32 1 32÷8 4 0 4÷8 0 4 সংখ্যাটি( .32) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .32×8=2.56 2 .56 .56×8=4.48 4 .48 .48×8=3.84 3 .84 .84×8=6.72 6 .72 এখানে, (257)10=(401)8 এবং (.32)10=( .2436.........)8 অতএব, (257.32)10=( 401.2436......... )8 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১. (423.85)10 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। ২. (311 .32)10 সংখ্যাটিকে বাইনারি ও ৬ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। নিয়ম-০২: বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর। অর্থাৎ যে কোন সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর। ( গুন প্রক্রিয়া ) ধাপ-০১: প্রদত্ত সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক বা ডিজিটকে সংখ্যাটির বেস বা ভিত্তি দিয়ে গুন করি এবং প্রতিটি গুনফলের মাঝে যোগ চিহ্ন দিই।(পয়েন্ট থাকলে না বসাই) ধাপ-০২: প্রতিটি ডিজিটের পজিশন সংখ্যাকে পাওয়ার হিসেবে বসাই।[পূর্ন সংখ্যার ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় ০ থেকে (ডান থেকে বাম দিকে) এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় -১ থেকে (বাম থেকে ডান দিকে)] ধাপ-০৩: গাণিতিক হিসাবের মাধ্যমে প্রাপ্ত যোগফলই হবে নির্নেয় দশমিক সংখ্যা। উদাহরণ-৮: (1011010)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: (1011010)2 =(1×26)+(0×25)+(1×24)+(1×23)+(0×22)+(1×21)+(0×20) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ] =64+0+16+8+0+2+0 [গাণিতিক হিসাব ] =90 সুতরাং, (1011010)2=(90)10 (Ans.) উদাহরণ-৯: (7BC)16 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: (7BC)16 =(7×162)+(B×161)+(C×160) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ] =(7×256)+(11×16)+(12×1) [গাণিতিক হিসাব ] =1792+616+12 =2420 সুতরাং, (7BC)16=(2420)10 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১. (207)8 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। ২. (432)5 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। উদাহরণ-১০: (101110.101)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: (101110.101)2 =(1×25)+(0×24)+(1×23)+(1×22)+(1×21)+(0×20)+(1×2-1)+(0×2-2)+(1×2-3) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ] =(1×32)+(0×16)+(1×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1)+(1×0.5)+(0×0.25)+(1×0.125) =32+0+8+4+2+0+0.5+0+0.125 =46.625 সুতরাং, (101110.101)2=(46)10 (Ans.) উদাহরণ-১১: (123.540)8 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: (123.540)8 =(1×82)+(2×81)+(3×80)+(5×8-1)+(4×8-2)+(0×8-3) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ] =(1×64)+(2×8)+(3×1)+(5×0.125)+(4×0.015625)+0 =64+16+3+0.625+0.0625+0 =83.6875 সুতরাং, (123.540)8=(83.6875)10 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১. (B5D.48)16 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। ২. (11011.101)2 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। 3. (203.32)4 কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। নিয়ম-০৩: নন-ডেসিমাল অর্থাৎ বাইনারি,অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন বাইনারি → থেকে → অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর। অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল → থেকে → বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর। অক্টাল → থেকে → হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর। হেক্সাডেসিমাল → থেকে → অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর। (নিয়ম-০৩ হলো বিট পদ্ধতি,এখানে যে সংখ্যাটি দেওয়া থাকবে এবং যে সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে দুটির একটিতেও দশমিক সংখ্যা থাকবে না। বিট পদ্ধতি ২ ধরনের। যথা- ক.অক্টাল তিন বিটের, যার বিট তিনটির ফর্মুলা হলো →(4 2 1) খ.হেক্সাডেসিমাল চার বিটের, যার বিট চারটি ফর্মুলা হলো →(8 4 2 1) অক্টাল সংখ্যা বাইনারি বিট(4 2 1) হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা বাইনারি বিট(8 4 2 1) 0 000 0 0000 1 001 1 0001 2 010 2 0010 3 011 3 0011 4 100 4 0100 5 101 5 0101 6 110 6 0110 7 111 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 বাইনারি থেকে অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল- ধাপ-১: পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাটির ডান থেকে বাম দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করে নিতে হবে এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে বাম থেকে ডান দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করতে হবে । (এক্ষেত্রে গ্রুপ করতে বামে বিট কম পড়লে বামে এবং ডানে বিট কম পড়লে ডানে শূন্য বসিয়ে বিট পূরন করে নিতে হবে) ধাপ-২: অতপর প্রতিটি ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) গ্রুপের আলাদা ভাবে অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান লিখতে হবে। ধাপ-৩: অবশেষে প্রাপ্ত অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে বাইনারি সংখ্যাটির সমতূল্য অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পাওয়া যাবে। উদাহরণ-১২: (111011101.1010111)2 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (11101110.1010111) তিন বিট গ্রুপ → 011 101 110 . 101 011 100 অক্টাল মান → 3 5 6 . 5 3 4 সুতরাং, (111011101.1010111)2=(356.534)8 (Ans.) উদাহরণ-১৩: (11011101.1010111)2 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (1101110.1010111) চার বিট গ্রুপ → 0110 1110 .1010 1110 হেক্সাডেসিমাল মান → 6 E . A E সুতরাং, (11011101.1010111)2=(6E.AE)16 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১.(1101111101.10101111)2 কে হেক্সাডেসিমাল ও অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারিতে প্রকাশ ধাপ-০১: অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার প্রতিটি ডিজিটের তিন/চার বিট বাইনারি মান লিখতে হবে।(বিট ফর্মুলা ব্যবহার করে) ধাপ-০১: প্রাপ্ত বাইনারি মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারি সংখ্যা পাওয়া যাবে। উদাহরণ-১৫: (356.57)8 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (356.57)8 তিন বিট বাইনারি মান → 110 101 110 .101 111 সুতরাং, (356.57)8=(110101110.101111)2 (Ans.) উদাহরণ-১৬: (B6A.C7)16 কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (B6A.C7)16 চার বিট বাইনারি মান → 1011 1100 1010 .1100 0111 সুতরাং, (B6A.C7)16=(101111001010.11000111)2 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১.(BFC)16কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। ১.(74.6)8কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর। অক্টাল থেকে হেক্সাডেসিমাল ধাপ-১: প্রথমে অক্টাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে উদাহরণ-১৬: (356.57)8 কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (356.57)8 তিন বিট বাইনারি মান → 110 101 110 .101 111 চার বিট গ্রুপ → 0001 1010 1110 .1011 1100 হেক্সাডেসিমাল মান → 1 A E . B C সুতরাং, (356.57)8=(1AE.BC)2 (Ans.) হেক্সাডেসিমাল থেকে অক্টাল ধাপ-১: প্রথমে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে অক্টাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে উদাহরণ-১৭: (5C4.A7)16 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাটি → (5C4.A7)16 চার বিট বাইনারি মান → 0101 1100 0100 .1010 0111 তিন বিট গ্রুপ → 010 111 000 100 .101 001 110 অক্টাল মান → 2 7 0 4 . 5 1 6 সুতরাং, (5C4.A7)16=(2704.516)8 (Ans.) বাড়ির কাজ: ১.(A9D.B4)16কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। ১.(764.36)8কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। নিয়ম-০৪: দুটি অপরিচিত বেস বিশিষ্ট সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন (2,8,10,16 বেস ব্যাতিত/2,8,10 বেস ব্যাতিত/2,10,16 বেস ব্যাতিত সংখ্যা থাকলে) ধাপ-০১: প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে।(নিয়ম-০২ ব্যবহার করে অর্থাৎ গুন পদ্ধতি) ধাপ-০২: প্রাপ্ত দশমিক সংখ্যাটিকে কাঙ্খিত সংখ্যায় রুপান্তর।(নিয়ম-০১ ব্যবহার করে অর্থাৎ ভাগ পদ্ধতি) উদাহরণ-১৮: (452)6 কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। সমাধান: প্রথমত প্রদত্ত সংখ্যাটি (452)6 কে দশমিকে রুপান্তর করতে হবে- (452)6 =(4×62)+(5×61)+(2×60) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ] =(4×36)+(5×6)+(2×1) [গাণিতিক হিসাব ] =144+30+2 =175 সুতরাং, (452)6=(175)10 দ্বিতীয়ত প্রাপ্ত সংখ্যাটি (175)10 কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে- সংখ্যাটি(175) ভাগফল ভাগশেষ 175÷4 43 3 43÷4 10 3 10÷4 2 2 2÷4 0 2 সুতরাং, (175)10=(2233)4 অতএব, (452)6=(2233)4 (Ans.) বি.দ্র.: নিয়ম-০৪ এর মতো নিয়ম-০৩ এর রুপান্তর গুলিও করা সম্ভব। বাড়ির কাজ: ১.(432)5 কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর। ২.(A62)16 কে ৬ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। ৩.২.(223)5 কে ৩ ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর। তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০১:সংখ্যা পদ্ধতি ও এর প্রকারভেদ। Written by: Habibur Rahman(Habib Sir) Author at www.habibictcare.com Email:habibbzm2018@gmail.com Cell: +8801712-128532,+8801913865284

Tag: সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর

তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০২: সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System)

Quick Links

Resources

Support